Оценка сложности песен

The Complexity of Songs

Автор: Дональд Е. Кнут
Перевод: Андрей В. Макуха
Источник: Communications of the ACM
Материал предоставил: RSDN Magazine #4-2007

Опубликовано: 12.11.2007
Версия текста: 1.0

Оценка сложности песен Лемма 1 Доказательство Лемма 2 Доказательство Теорема 1 Доказательство Теорема 2 Доказательство Библиография Примечания переводчика

Оценка сложности песен

Каждый день приносит новые доказательства тому, что понятия информатики применимы к сферам жизни, имеющим очень отдаленное или не имеющим никакого отношения к компьютерам. Цель данного обозрения – продемонстрировать, как важные свойства популярных песен наилучшим образом понимаемы в терминах современной теории вычислительной сложности.

Известно [3], что почти всем песням длины n требуется текст длины ~ n. Это, однако, накладывает значительные требования к объему вашей памяти, если следует изучить множество песен; поэтому наши древние предки изобрели понятие припева [14]. Когда песня имеет припев, то, как показано в следующей лемме, ее сложность запоминания может быть уменьшена до cn, где c < 1.

Лемма 1

Пусть S – песня, содержащая m куплетов длины V и припев длины R, поющийся в начале, в конце и между соседними куплетами. Тогда сложность запоминания песни S составляет (V / (V + R))n + O(1) для фиксированных V и R при m → ∞.

Доказательство

Длина S при пении составляет

n = R + (V + R)m										(1)

в то время как ее сложность запоминания

c = R + Vm.										(2)

Из Закона дистрибутивности и Закона коммутативности [4], имеем:

c = n – (V + R)m + mV									(3)
  = n – Vm – Rm + Vm 
  = n – Rm.

Лемма доказана.

(Данную лемму можно обобщить для случая куплетов переменной длины V₁, V₂, …, V_m, если последовательность {V_k} удовлетворяет некоторому условию гладкости. Детали появятся в будущем докладе.)

Значительное улучшение леммы 1 было сделано в средневековых еврейских общинах Европы, где неизвестному автору удалось уменьшить сложность до O(sqrt(n)). Его песня «Эхад ми йодэа» или «Кто знает один?» все еще традиционно поется ближе к концу седер-песаха⁽¹⁾, по сообщениям, чтобы не дать детям уснуть [6]. Она состоит из припева и 13-ти куплетов v₁, …, v₁₃, где за v_k следуют v_k-1 … v₂v₁ перед тем, как повторяется припев. Следовательно, m куплетов текста приводят к (1/2)m² + O(m) куплетов пения. Схожая песня под заглавием «Green Grow the Rushes O» или «The Dilly Song» часто поется в рождественское время в Западной Британии, однако имеет только 12 куплетов (см. [1], где цитируются бретонская, фламандская, немецкая, греческая, средневеково-латинская, моравийская, а также шотландская версии).

Коэффициент sqrt(n) был далее улучшен шотландским фермером С. МакДональдом⁽²⁾, чья конструкция описывается в лемме 2.

Лемма 2

Для всех целых положительных чисел α и λ, существует песня со сложностью (20 + λ + α)sqrt(n / (30 + 2λ)) + O(1).

Доказательство

Рассмотрим следующую схему [9].

       V0  = "Old MacDonald had a farm, " R1					(4)
       R1  = "Ee-igh, "2 "oh! "
    R2(x)  = V0 "And on this farm he had some " x ", " R1 "With a "
 U1(x, x′) = x ", " x′ " here and a " x ", " x′ " there; "
 U2(x, y)  = x "here a " y ", "
 U3(x, x′) = U1(x, x′) U2(ε, x) U2("t", x′) U2("everyw", x ", " x′)
       Vk  = U3(Wk, Wk′) Vk-1 для k ≥ 1

где

W1 = "chick",   W2 = "quack",								(5)
W3 = "gobble",  W4 = "oink",
W5 = "moo",     W6 = "hee",

и

Wk′ = Wk, для всех k ≠ 6; W6 = "haw".								(6)

Песня степени m определяется как

Y0  = ε											(7)
Ym  = R2(Wm″) Vm Ym-1, для m ≥ 1,

где

W1″ = "chicks",   W2″ = "ducks",							(8)
W3″ = "turkeys",  W4″ = "pigs",
W5″ = "cows",     W6″ = "donkeys".

Длина Y_m составляет

n  = 30m2 +153m + 4(ml1 + (m-1)l2 + … + lm) + (a1 + … + am)			(9)

В то время как длина соответствующей схемы

c = 20m + 211 + (l1 + … + lm) + (a1 + … + am).					(10)

Здесь l_k = |W_k| + |W_k′| и a_k = |W_k″|, где под |x| подразумевается длина строки x. Результат непосредственно следует из предположения, что l_k = λ и a_k = α для всех больших k. □

Обратите внимание, что коэффициент (20 + λ + α) / sqrt(30 + 2λ) достигает своего минимального значения при

λ = max(1, α-10)										(11)

для фиксированного α. Тогда, если животные с фермы МакДональда имеют длинные названия, им следует издавать звуки слегка покороче.

Схожие результаты были получены франкоканадским орнитологом, назвавшим свою песенную схему «Alouette» [2, 15]; и, приблизительно в то же время, тирольским мясником, чья схема [5] популярно называется «Ist das nicht ein Snitzelbank?». Несколько других накопительных песен были собраны Питером Кеннеди [8], включая «The Mallard» с 17-ю куплетами и «The Barley Mow» с 18-ю. Более поздние сочинения, как «There’s a Hole in the Bottom of the Sea» и «I Know an Old Lady Who Swallowed a Fly», к сожалению, имеют сравнительно большие коэффициенты.

Фундаментальное усовершенствование было заявлено в Англии в 1824, когда истинная любовь Д. Джека дала ему в совокупности 12 танцующих леди, 22 а-скачущих лорда, 30 барабанящих барабанщиков, 36 трубящих трубачей, 40 а-доящих девушек, 42 а-плывущих лебедя, 40 золотых колец, 36 черных дроздов, 30 французских курочек, 22 черепаховых голубя и 12 куропаток в грушевых деревьях на протяжении 12 дней Рождества⁽³⁾ [11]. Все это составило (1/6)m³ + (1/2)m² + (1/3)m подарков за m дней, так что сложность, казалось, должна была равняться O(n^1/3); однако вскоре было указано [10], что такая оценка была основана на n подарках, вместо n единиц напева. В конце концов, была установлена сложность sqrt(n/log n) (см. [7]).

Таким образом, куропатки в грушевых деревьях улучшили оценку только на 1/sqrt(log n); однако значение этого открытия нельзя недооценивать, так как благодаря ему была доказана возможность преодоления барьера в n^0,5. Следующий большой прорыв был, фактически, достигнут благодаря необыкновенно простому обобщению куропаточной схемы. Первой обнаружившей класс песен, известных как «m бутылок пива на стене»⁽⁴⁾, была Д. В. Блатц из Милуоки, штат Висконсин; ее элегантная конструкция появилась в следующем доказательстве первого из основных результатов теории.

Теорема 1

Существует песня сложности O(log n).

Доказательство

Рассмотрим схему:

Vk = T(k) B W ", "									(12)
     T(k) B "; "
     "If one of those bottles should happen to fall, "
     T(k-1) B W "."

где

B = " bottles of beer",									(13)
W = " on the wall",

и где T(k) – перевод целого числа k на английский язык. Требуемый объем записи T(k) для всех k < 10^m составляет O(m), так как мы можем определить

T(q∙10m+r) = T(q) " times 10 to the " T(m) " plus " T(r)				(14)

для 1≤ q ≤ 9 и 0 ≤ r < 10^m-1.

Следовательно, определенные следующим образом песни S_k

S0 = ε, Sk = VkSk-1 для k ≥ 1								(15)

имеют длину n ≍ k log k, в то время как длина определяющей их схемы составляет O(log k); что и требовалось доказать. □

Теорема 1 была лучшим известным результатом до недавнего времени,

вероятно потому, что она удовлетворяла всем практическим требованиям генерации песен с ограниченной памятью. В сущности, 99 бутылок пива казались более чем достаточными в большинстве случаев.

Однако распространение современных наркотиков привело к потребности в еще меньшей памяти, и в результате недавно было опубликовано предельное усовершенствование теоремы 1:

Теорема 2

Существует сколь угодно длинная песня сложности O(1).

Доказательство

(согласно Casey and the Sunshine Band⁽⁶⁾)

Рассмотрим песню S_k определенную выражением (15), при условии что

Vk = "That’s the way, " U "I like it, " U						(16)
U  = "uh huh, " "uh huh"  

для всех k.

Вопрос изучения сложности недетерминированных песен остается открытым.

Признательность Я хотел бы поблагодарить Д. М. Кнут и Д. С. Кнут за то, что подсказали мне тему для данной статьи.

Библиография

[1] Rev. S. Baring-Gould, Rev. H. Fleetwood Sheppard, and F.W. Bussell, Songs of the West (London: Methuen, 1905), 23, 160-161.

[2] Oscar Brand, Singing Holidays (New York: Alfred Knopf, 1957), 68-69.

[3] G.J. Chaitin, «On the length of programs for computing finite binary sequences: Statistical considerations», J. ACM 16 (1969), 145-159.

[4] G. Chrystal, Algebra, an Elementary Textbook (Edinburgh: Adam and Charles Black, 1886), Chapter 1.

[5] A. Dörrer, Tiroler Fasnacht (Wien, 1949), 480 pp.

[6] Encyclopedia Judaica (New York: Macmillan, 1971), v. 6 p. 503; The Jewish Encyclopedia (New York: Funk and Wagnalls, 1903); articles on Ehad Mi Yode'a.

[7] U. Jack, «Logarithmic growth of verses», Acta Perdix 15 (1826), 1-65535.

[8] Peter Kennedy, Folksongs of Britain and Ireland (New York: Schirmer, 1975), 824 pp.

[9] Norman Lloyd. The New Golden Song Book (New York: Golden Press, 1955), 20-21.

[10] N. Picker, «Once señores brincando al mismo tiempo», Acta Perdix 12 (1825), 1009.

[11] ben shahn, a partridge in a pear tree (New York: the museum of modern art, 1949), 28 pp. (unnumbered).

[12] Cecil J. Sharp, ed., One Hundred English Folksongs (Boston: Oliver Ditson, 1916), xlii.

[13] Christopher J. Shaw, «that old favorite, Apiapt/a Christmastime algorithm», with illustrations by Gene Oltan, Datamation 10, 12 (December 1964), 48-49. Reprinted in Jack Moshman, ed., Faith, Hope and Parity (Washington, D.C.: Thompson, 1966), 48-51.

[14] Gustav Thurau, Beiträge zur Geschichte und Charakteristik des Refrains in der französischen Chanson (Weimar: Felber, 1899), 47 pp.

[15] Marcel Vigneras, ed., Chansons de France (Boston: D.C. Heath, 1941), 52 pp.

Примечания переводчика